阿基米德螺线
阿基米德螺线（阿基米德曲线） ，亦称“等速螺线”。当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线有以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米德在著作《论螺线》中给出了定义
它的极坐标方程为：r = aθ
这种螺线的每条臂的距离永远相等于 2πa。
笛卡尔坐标方程式为：
r=10*(1+t)
x=r*cos(t*360)
y=r*sin(t*360)
z=0
圆锥曲线
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：MM56NNP| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)MM78NN。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即MM56NNP|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)MM78NN。
3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
•圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
•圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：
1）椭圆
参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
2）双曲线
参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数 )
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）
3）抛物线
参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)
直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
焦点到最近的准线的距离等于ex±a
。圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）
椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。
|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex
双曲线：
P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
悬链线
悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：
y = a*cosh(x/a)
其中 a 是一个常数。
悬链线数学表达式的证明
注释
最低点处受水平向左的拉力H，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：
Tsinθ=mg;
Tcosθ=H,
并且对于绳上任意一点有
tanθ=dy/dx=mg/H;
mg=ρs;
其中s是右半段绳子的长度,ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1)
对于(1)设p=dy/dx微分处理
得 p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2)
p'=dp/dx;
对（2）分离常量求积分
∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx
得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C
当x=0时，dy/dx=p=0;带入得C=0；
整理得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H；
1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2;
即p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx;
dy得y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ；
如果令a=H/ρ的话
y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)= a*cosh(x/a).
工程中的应用
悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用，a称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式如下：
y=a(cosh(x/a)-1
还有以下几个公式，可能也有用：
L=asinh(x/a)
tanθ=sinh(x/a)
F0=aγ
其中L是曲线中某点到0点的链索长度，α是该点的正切角，F0是0点处的水平张力，γ是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。
渐开线
渐开线画法
将一个圆轴固定在一个平面上，轴上缠线，拉紧一个线头，让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切，那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。
直线在圆上纯滚动时，直线上一点K的轨迹称为该圆的渐开线，该圆称为渐开线的基圆，直线称为渐开线的发生线。 渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直；基圆为无穷大时，渐开线为斜直线。渐开线方程为：
x=r×cosθ+θ×r×sinθ
y=r×sinθ-θ×r×cosθ
z=0
式中，r为基圆半径；θ为展角，其单位为弧度
展角θ和压力角α之间的关系称为渐开线函数
θ=inv(α)=tan(α)-α
式中，inv为渐开线involute的缩写
渐开线画法:
已知圆的直径D，画渐开线的方法如图
(1）将圆周分成若干等分（图中为12等分），将周长πD作相同等分；
(2）过周长上各等分点作圆的切线；
(3）在第一条切线上，自切点起量取周长的一个等分（πD/12）得点1；在第二条切线上，自切点起量取周长的两个等分（2xπD/12）得点2；依此类推得点3、4、……、12；
(4）用曲线板光滑连接点1、2、3、……、12；即得圆的渐开线。
心脏线
目录
基本性质
方程
面积
心脏线的历史
如何画心脏线
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基本性质
心脏线是外摆线的一种，其 n 为 2。它亦可以极坐标的形式表示：
r = 1 + cos θ
这样的心脏线的周长为 8，围得的面积为3π/2。
心脏线亦为蚶线的一种。
在 Mandelbrot set 正中间的图形便是一个心脏线。
心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在 1741年 的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。
[编辑本段]
方程
在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：
x(t)=2r(cost-cos2t/2)
y(t)=2r(sint-sin2t/2)
其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。
在极坐标系中的方程为：
ρ(θ)=2r(1-cosθ)
[编辑本段]
面积
方程为
ρ(θ) = a(1 − cosθ)
的心脏线的面积为：S=3（πa^2）/2
建立环境:pro/e,圆柱坐标
a=10
r=a*(1+cos(theta))
theta=t*360
更多曲线，请参见曲线列表
外摆线
【词语】：外摆线
【注音】：wài bǎi xiàn
【释义】：外摆线,英文名：epicycloid，又称圆外旋轮线。
定义：当半径为b的圆沿着半径为a的定圆的外侧无滑动地滚动时，动圆圆周上的一点p所描绘的点的轨迹。
在以定圆中心为原点的直角坐标系中，其方程为
x=(a+b)cosθ-bcos[(a+b)θ/b];
y=(a+b)sinθ-bsin[(a+b)θ/b];
当a/b是有理数时，它是闭曲线；
当a=b时，它就是心脏线。
早在公元前140年前后，希腊天文学家希帕克就知道此种曲线。
德沙格在1639年，欧拉在1781年分别圆外旋轮线，德沙格首次用此种曲线来设计齿轮的齿形。
类比：圆内旋轮线（hypocycloid）（别名：内摆线）
定义：当半径为b的圆沿着半径为a（a>b）的圆的内侧无滑动滚动时，动圆圆周上一点p的轨迹。
在以定圆中心为原点的直角坐标系中，其方程为
X=(a-b)cosθ+bcos[(a-b)θ/b];
Y=(a-b)sinθ-bsin[(a-b)θ/b];
注：心脏线定义
在直角坐标系中方程 （x^2+y^2-ax)^2=a^2(x^2+y^2)（x^2表示x的平方）所表示的曲线
极坐标方程为：r=a（1+cosθ）。
以上各图简单的VB程序即可画出
至此，此问题完全解决
外旋轮线
外旋轮线(Epitrochoid)
是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆外侧滚转的半径 r 的圆上的一个点而得到的转迹线，这个点距离外部滚动的圆的中心的距离是 d。
右图是R = 1, r = 1/3 和 d = 1/6 的外旋轮线
外旋轮线的参数方程是
x=(R+r)cost-dcos((R+r)t/r)
y=(R+r)sint-dsin((R+r)t/r)
特殊情况包括 R = r 的蜗牛线和 d = r 的外摆线。
经典的螺旋图玩具追踪外旋轮线和内旋轮线。
转子活塞发动机的定子是外旋轮线。
蔓叶线
蔓叶线，有时又叫双蔓叶线是 Diocle 在公元前180年发现的曲线。
曲线方程
蔓叶线的标准曲线方程为：
y^3=x^3/(2a-x)
其中a是常数。
轨迹定义
蔓叶线可以轨迹来定义出来。
假设 C1 和 C2 是两条曲线， O 是一个定点，一条经过 O 的直线 L 分别相交 C1 和 C2 于 A 和 B，则所有在 L 上的点 P 使得 AB = OP 的轨迹就是一条蔓叶线。
若 C1 为一个圆，C2 是圆的切线，O 是圆上的点且在切线的对面，那么 P 的轨迹就是本页顶的图像，称为「Diocle 蔓叶线」。
历史
这曲线的发现是为了解决倍立方问题。蔓叶线的英文名字「Cissoid」是曲线发现了100年后《Geminus》中出现的，意为「像常春藤的」。
费马螺线
费马螺线是等角螺线的一种，表达式：
r=θ^`1/2
蚌线
蚌线
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轨迹定义
过定点O的直线交不过O的定直线l（l与O的距离为a）于Q，在OQ上取P，使|QP|=b（b是常数），则P的轨迹称为蚌线。
特征
蚌线有内外两支。
a和b的大小关系，蚌线有三种不同形态。
极坐标方程
ρ = a ± b secθ
O为极点；
O到l的离差的方向为极轴
a、b为实数
-π / 2 ≤ θ ≤ π / 2时，
ρ = a + b secθ表示蚌线的外支，又叫做外蚌线；
ρ = a –b secθ表示蚌线的内支，又叫做内蚌线。
直角坐标方程
(x-a)^2*(x^2+y^2)=b^2*x^2
O为原点；
直线l方程为x = a；
利用蚌线可以三等分角。
对数螺线
目录
定理
构造对数螺线
自然现象
历史
对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。
螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：
ρ=αe^(kφ)
其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。
对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。
[编辑本段]
定理
对数螺线的臂的距离以几何级数递增。
设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线），而此值为 cot-1 ln b。
设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与对数螺线的相交的角永远相等，而此值为 tan-1 ln b，名为“倾斜度”
对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。
对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。
从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。
柯奴螺线
Cornu 螺线 是形式为
x = C(t)
y = S(t)
的曲线，其中 C(t)、S(t) 为 Fresnel 函数。
S(x)=∫(x,0)sint^2dt=∑(正无穷,n=0)(-1)^n*x^(4n+3)/((4n+3)(2n+1)!)
C(x)=∫(x,0)cost^2dt=∑(正无穷,n=0)(-1)^n*x^(4n+1)/((4n+1)(2n)!)
上面参数方程的参数t，也是螺线于该点的曲率：κ(t) = t。
两个螺线的中心位于土(√π/2,√π/2)
在光学上，近场绕射（Fresnel绕射）中会应用Fresnel积分。
内旋轮线
内旋轮线(hypotrochoid)是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆内侧滚转的半径为 r 的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是 d。
右图是R = 1.0, r = 0.6, d = 1.2 的内旋轮线(点击查看动画)
内旋轮线的参数方程是:
x=(R-r)cost+dcos((R-r)t/r)
y=(R-r)cost+dcos((R-r)t/r)
特殊情况包括 d = r 的内摆线和 R = 2r 的椭圆。
经典的螺旋图玩具追踪出内旋轮线和外旋轮线。
1.碟形弹簧 |
gzl19690911
发表于 2024-12-4 07:13:14
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Published by Stonespider 
