三维弹性力学

谁会用最小势能原理分析三维弹性体啊？能否指点一下

是基本的有限元分析

1 有限元方法简介

有限元法，将邻域分割成有限个的部分邻域（有限元素），在代表这些部分邻域值的点（节点，多取元素的顶点）中，导出有关未知函数的连立一次方程，并解析这个方程。其根本原理是，在弹性体是用最小势能原理、虚功原理等，或在更为一般的意义上为变分原理。因为能量积分是在整个邻域进行的，所以需要考虑对象物体或问题的整个邻域。将邻域划分为部分邻域，将有关每个部分邻域的关系加起来作为整个邻域。在每个部分邻域函数值的变动，除满足最小限条件外可自由变化。我们知道这一部分邻域划分得越小，便越接近原来问题的正确解答。主要思路做法归纳如下：
1）连续体离散化。
2）单元分析。
3）整体分析。

2 差分法简介
差分法是历史最久而且观点比较简单的方法。在差分法中，如图，将考虑邻域在x，y轴方向都有适当间隔的格子分开。如控制方程中出现的函数u（x，y）是连续可微的，在u（x，y）格子点（i，j）的微系数可使用周围格子点的函数值。与左边的系数相对应，称右边的表达式为差分。因此，原来的控制微分方程是用差分近似表示的关系式，即表示为差分方程。差分方程是用研究的格子点（i，j）的函数值与周围格子点的函数值来表示的。对于邻域内的所有格子点来说都成立。而后再考虑边界上格子点所给予的边界条件，因为在格子点上可得到有关未知函数联立一次方程，所以，就等于解这些方程。可以说差分法是将控制微分方程引入数学上的近似（差分近似）而得到解方程方法。

3 边界元素简介
    边界元法将边界划分为具有有限大小的部分边界（称为边界元），与有限元同样，在这些代表点中，构成与函数值有关的联立一次方程，边界元法便是解这个方程的方法。如前所述，在有限元法中，对于用同样微分方程表示的边界值问题，必须考虑整个邻域，而在边界元中，只考虑边界即可解决的理由是因为基本原理不同的缘故。边界元法是首先将原来的微分方程，用积分定理变成边界上的积分方程（用Gauss-Green公式），把变换的方程作为数值解的方法，并使用与有限元素法相同的元素分割方法。因此，现在研究的二维问题，是只在边界线上处理，所以便与一维问题相同。如是三维问题，只在包围它的表面上进行元素分割，便成为处理二维问题。

4 三种计算方法的比较
    有限元法与差分法都是处理整个邻域为对象，故有时称邻域型解法。在差分法中，在邻域内根据位置来改变格子间隔是很费事的，并在接近边界的使用上，有某些不方便之处。如果是曲线边界，边界未必与格子点一致，因此，变需要接近边界考虑不等间隔的格子，或考虑近似的边界形状。另外，很难用差分表示复杂的边界条件，不容易处理三维问题也是差分法的缺点。而有限元法在这些方面比差分法有效的多。
    有限元法与边界元法的基本研究方法虽然不同，但从两者都将对象按元素分割处理的一点上，可以看到类似性。边界元法是把能够广泛普遍使用的有限元法，通过前述的积分方程而建立的一种有效方法。