提高板材成形效率的坐标网分析法

J.H. Yoon, H. Huh.
机械工程学院，韩国高级科学协会和技术科学镇
Daejeon 305-701,南韩

摘要

本篇文章是采用一种新推出的方法来对提高板材的成形效率进行分析,这种方法就是坐标网分析法。这种方法就是研究扭曲单体，即通过适当的研究规范，建立补片，包括修正后的单体。每一片都被扩展到一个三维的表面从而获得一个连续坐标的信息。在构造表面时，应包括每一个片，NURBS(非均匀有理B样条)表面被用来描述一个三维自由表面。以被构造表面为基础，每一个节点一般被安排成一个非常接近正方形的单体元素。计算状态函数是从它原始的网格系统映射到新的网格之内，从而对成形进行下一阶段的分析或更进一步的分析。按网格方法的分析结果与没有坐标网方法直接成行的分析结果相比较来确定哪一种方法是更有效的。
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关键词：坐标网；变形单体；NURBS；有限元分析

1. 概述

随着计算机技术和数字技术的结合和快速发展，用数字模拟进行板材成形加工达到空前的繁荣。数字分析对复杂几何图形的板材成形和多级成形都可以做到。对于一个复杂的几何模型来说，尽管局部严重变形将会导致计算时间的增加和数据分析的减少。从而使分析结果更加不准确。几何网格的扭曲和严重变形对板材成形的质量有很大影响,特别是对于多级成形。当上一级成形的分析结果用于下一级成形分析时，几何网格的扭曲和变形对分析结果影响更大。这种被扭曲网格的错误表象可以通过整体的或自适应重啮合技术的网格系统的重建来避免。在模拟期间，减少单体扭曲，自适应重啮合技术被认为是一种有效的方法。但是，它仍然需要大量的计算，并且在单体的细分中也受到限制。
要构造一个网格系统的有效方法已经被许多研究人员提上日程。典型的方法可能是下面几种：r-方法，h-方法，p-方法。r-方法就是在网格系统的总的自由度不变的情况下，节点被完全重排；h-方法就是在元素单体具有相同的自由度的情况下让网格的数目增加；p-方法就是通过网格系统的整体自由度的增加来提高分析的准确性。Sluiter 和Hansen[文献4]和Talbert 和 Parkinson[文献5]构造了一个晶格分析范围，它像一个连续的环，而且是从主要环中分离出的子环元素。Lo[文献6]在整个晶格范围内构造了一个三角形元，并且通过合并邻近的三角形元而构造矩形元素。
本篇文章中的坐标网方法是一种新推出的方法,它旨在用有限元分析提高板材成形效率。坐标网法根据一些规范可以自动地找出变形单体，并对这些片进行修正。然后，每一片都被扩展到一个三维表面用来获得在三维表面的连续坐标系的信息。这个包含了每一片的表面用来作为使用了NURBS的三维自由表面来描述。以被构造表面为基础，每一个节点都被彻底改变，用来组成一个正方形的规则单体。状态函数的计算是从它原始几何网格映射到新的网格之内，从而进行下一阶段的成形分析。从得到的数据结果中证实使用坐标网方法的效率和结果的准确性。这也证实了此种方法在板材构件碰撞分析的成形模拟中的有效性。

2. 体的规则化

之所以要介绍对变形体的修正使之成为一个规则化过程，是为了提高变形体在下一个有限元计算中的分析效率。在规则化过程中，变形体根据适当的搜索规范有选择的分配到各片。这些片通过分析NURBS在连续坐标系的三维表面上的全部数据而扩展到一个三维表面。变形后的每个节点为了得到一个新坐标将被调整为一个近似正方形的规则单体。

2.1 网格变形标准

变形有两种几何标准可供选择：一是内角；另一个是单体纵横比。

2.1.1 内角
从有限元计算中得到矩形元素的内角应是接近直角的。Zhu et al. [文献7]给了这种元素一个合理的定义，就是当四个内角都是在 90 ْ±45 ْ的范围内时。同时Lo和Lee[文献8]也提出了相同情况下的内角，角度在90 ْ±52.5ْ范围内。内角的网孔变形是由式（1）的构成所决定的。当式 (1).小于π/3 或 (δθi)max在式(3) [9]中大于π/6 网孔被认为是变形的。这个标准之所以相当严格是为了避免万一在限制区域应用规则化方法受到几何图形的限制：
  

2.1.2 单体纵横比
四条边具有相同长度的理想单体的纵横比应该是一致的。纵横比被定义如式（4），并且当变形小于5即比严格标准少很多时，它也被定义：

此处rij表示单体边长。

2.2.作图范围

2.2.1 片的设计
通过网格变形标准所选择的变形单体，根据它们在几何成形时外形的复杂程度被分不到各个不同的区域。这些单体被分配到各片，并用来构造算法效率。这些片的形状被拼凑成矩形，包括所有变形体，目的是扩大规则化和NURBS表面在下一部分说明中的应用。这个过程如图1所示，当孔和边缘被设置在变形体中时，这些区域被填满，从而得到矩形片。
然后，这些片利用NURBS表面映射到一个三维自由表面。这个过程对于在三维表面上获得连续坐标的全部信息是非常重要的。NURBS表面在使用较少的数据点和由于局部改变而不改变这个区域的数据的情况下快速的描述这个复杂的形状。
   

2.2.2 NURBS表面
NURBS表面通常通过如式(5)来表述，像p-向量在u-方向中和q-向量在v-方向中[10]:

此处Pi,j是控制点如u-， q- 方向。Wi,j是加权因子， 是基础函数通过式(6)来表达：

为了把这些点映射到构造的表面上，一系列连续的点在NURBS表面创建了。每一个用规则化方法移动过的节点都被定位，以至于在NURBS表面上定位点在两节点之间有最小距离。这些移动过的连续节点的信息都被存储，用来构造一个新的网格系统。

2.3 规则化过程

规则化方法与形成矩形片单体一起完成的。规则化的有限元通过图2所示次序被依次选择。每一个被选择的单体都被分成两个三角形元，并且这些三角形元通过圆心的重定位都由直角三角形元组成，圆的直径如式(7)和图3所示，从X1到X2。当这个过程结束的时候，相同的过程在另一方向被重复：

通过规则化方法对节点的重定位，其最终位置被在NURBS表面上的点的位置所代替。当规则化过程完成后，为产生粗糙的区域，一个简单的缓和的过程通过式（8）被执行：
      
此处PN是新节点的坐标，Ai 临近区域的元素的坐标，Ci 临近元素的质心。
      

2.4 变形程度

作为一个变形因子，变形程度(LD)是最新提出的 ，LD可能是用来评估单体在质量方面改进的程度：

此处

LD在0和1之间浮动；当LD=1时，单体是一个方形的理想单体，当LD=0时，四边形元变成了三角形元。 时单体的四个内角，因此A是内角因子，B是单体侧面长宽比的因子并且为了使LD对B的变化不那么敏感，B被定义为双曲线正切函数。例如，当单体侧面合理的长宽比是1：4时，B的值可以通过 和 来调整，使函数B的斜率围绕着B’=0.25急剧变化。结果，当 的长宽比小于0.25时，LD的值急剧增加，当 大于0.25时，LD的值增加缓慢。这种方法可以调节内角和长宽比使它们在LD上有相同的效果。

2.5 状态函数的映射

当坐标网系统用于下一步的成形分析或结构分析的计算时，状态函数的映射就是非常必要的，通过映射，可以在考虑上一步成型过程的前提下得到更准确的分析。映射过程就是通过状态函数的计算把原来的网格系统映射到新的坐标网系统。如图4所示，一个球面在一个新节点周围建立，将导致球面上节点的状态函数影响新节点的状态函数。新节点的状态函数是由球面上原来节点的状态函数所决定的，如式(12)所示，加权因子在两节点的距离上成反比。

此处Vj是原始网格系统的状态函数的计算结果，rj使新节点到附近节点的距离。

3.数例

3.1.1 油盘的成形分析

油盘在冲压车间一般要经过两个工序制作，而根据现在这种方法，单工序冲压就可以完成。如图5所示的凸模和模架。
  
不论什么时候有限元系统需要提高计算效率，规则化方法都可应用于其中。在这个范例中，这种方法应用于油盘成形分析中的两次成形间隙，如图6所示。
图7说明了规则化方法的过程。图7（a）所示为成形时凸模行程为60%时的变形，有3个地方发生了网格变形，也就是片的数量是3。变形网格是根据2个网格变形的几何规范来选取的。如图7所示的包括所有变形体的矩形片的形成。最终补片中的单体被规则化，如图7（c）所示。
为了评价应用规则化系统后的单体质量的改进程度，应用规则化网格系统的LD值与原始网格系统的值相比较，结果如图8所示应用了规则化系统的LD值在整个单体上均匀分布，而应用了一般网格系统的LD值则在很大范围内变化。这

      
就意味着在相同的变形程度下，应用规则化网格系统其质量提高了。结果如图9 所示，应用了规则化网格系统的有限元计算明显领先于直接分析的。在油盘成形分析中，应用规则化网格系统可使计算时间减少了大约12%甚至减少了2倍，计算时间的减少量可能会随着更频繁的规则化调整而增加。
  

3.2 构件主视图的断裂分析

碰撞分析通常是在不考虑成形结果的情况下采用网格系统完成的成形分析。如果考虑成形结果，即考虑分析结果的准确性和可靠性，那么用于成形分析的网格系统可能会直接应用于碰撞分析来分析其效率。成形分析后，在没有重组合的情况下直接进行碰撞分析从而导致网格系统有很多网格发生了严重的扭曲和变形。一种补救的方法就是创建一个新的网格系统，另一种方法就是成形分析之后修正网格系统。如果重组合过程能够成功应用，应用后一种方法将非常有效。作为一种有效的重组合过程，规则化方法可以把变形网格转换成一个新的正方形中去。本例中，构件主板部分被命名为强化板，如图10所示，它被选择来进行碰撞分析。在成形分析后的构件的局部变形区域，不规则的有限元通过如图11所示的规则化方法修正成规则的单体，这个坐标网系统就用在碰撞分析中，如图12所示。
  
使用坐标网系统的碰撞分析可以在不影响分析结果准确性的前提下通过选择更大的时间间隔完成，如图13所示。和原来的网格系统的计算时间比较，碰撞分析的时间减少了40%，分析结果在所用时间和计算结果的准确性方面都是较
好的，并且还证明了坐标网系统可以有效的提高数字分析效率。


4 结论

坐标网方法是一种新推出的用来提高有限元分析板材成形性能的方法。在板材成形分析中的网格变形如此严重，导致后来的分析困难或得到的结果不准确，但是现行的这种坐标网分析法对于重组合又最小作用，还可以避免上述情况。在逐渐增加的分析中或多级成形的下一级分析中，坐标网格可以完成。从板材成形模拟中可以获得成形构件的断裂分析，当坐标网可以完成这些时，它也证明了使用坐标网分析性能得到很大提高。数字结果既证实了用坐标网分析法的有效性和效率性又证明了结果的准确性。
参考文献：
[1]  A.R. Diaz, N. Kikuchi, J.E. Taylor, A method of grid optimization for finite element methods, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 41 (1983) 29–45.
[2]  B.A. Szavo, Mesh design for the p-version of the finite element method, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 55 (1986) 181–197.
[3]  P. Diez, A. Huerta, A unified approach to remeshing strategies for finite element h-adaptivity, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 176 (1999) 215–229.
[4]  M.L.C. Sluiter, D.C. Hansen, A general purpose two-dimensional mesh generator for shell and solid finite elements, in: Computer in Engineering, vol. 3, ASME, 1982, pp. 29–34.
[5]  J.A. Talbert, A.R. Parkinson, Development of an automatic, twodimensional finite element mesh generator using quadrilateral elements and Bezier curve boundary definition, Int. J. Numer. Meth Eng. 29 (1990) 1551–1567.
[6]  S.H. Lo, Generating quadrilateral elements on plane and over curved surfaces, Comput. Struct. 31 (1989) 421–426.
[7]  J.Z. Zhu, O.C. Zienkiewicz, E. Hinton, J. Wu, A new approach to the development of automatic quadrilateral mesh generation, Int. J. Numer. Meth. Eng. 32 (1991) 849–866.
[8]  S.H. Lo, C.K. Lee, On using meshes of mixed element types in adaptive finite element analysis, Finite Elem. Anal. Des. 11 (1992) 307–336.
[9]  A. El-Hamalawi, A simple and effective element distortion factor, Comput. Struct. 75 (2000) 507–513.
[10]  L. Piegl, W. Tiller, The NURBS Book, 2nd ed., Springer, New York, 1997.